＜均時差にとはなにか＞
時刻は、太陽が南中すると１２時(正午)というように太陽の動きを元に決めていました。この時刻は日時計を使うことで知ることができます。
その後機械式の時計が作られるようになると、２つの時計の時刻がずれるということがわかってきました。
ずれ方は、時期(季節)によって決まった値になります。このずれの大きさを均時差と呼んでいます。
日時計の示す時刻を視太陽時(真太陽時)、時計の示す時刻を平均太陽時といいます。 平均太陽時というのは、天の赤道上を東から西に１年かかって１周する平均太陽を想定し、この平均太陽から求められた時刻という意味になります。 これを使うと均時差は次のように定義されます。
均時差＝視太陽時−平均太陽時
実際に２０２３年の均時差の大きさを計算してみました。結果をグラフにしたのが次の図です。 赤線で示しています。青線・緑線の意味は後々説明します。縦軸の単位は分になります。
年明けからだんだん小さくなっていって２月１２日に−１４.２分で最小になった後、５月１５日に３.７分と最大になり、
７月２７日に−６.５分、１１月４日に１６.４分と波うつように変化します。
＜均時差ができるわけ＞
どうして均時差がでるのかを考える前に１日の長さについて考えることにします。
よく勘違いされていることがあります。１日の長さが２４時間だから、地球の自転周期も２４時間だという勘違いです。 実際には２３時間５６分４秒です。わずかに短くなっています。この違いが生じる理由を考えてみます。
右図で、地球(青丸)がＡにいる時に太陽の方向を向いている地点を黒丸で示しています。
ここから、地球が左回りに１回自転した時を考えます。先ほどの地点(黒丸)は地球から見て同じ方向にあります(右なら右)。
地球は１回自転する間に公転によって左回りに少しだけ移動しています。この位置がＢになります。
Ｂでは地球が移動した分太陽が後ろ側に見えます。太陽の方に向くにはもう少しだけ自転する必要があります。
太陽の１日の長さは、余分に自転する分だけ長くなります。
１日の長さと自転周期の関係を計算してみます。１日(２４時間)後に地球はＣまで移動しています。 Ａにいる時に右側にあった星は，この間に１回とちょっとだけ余分に回転しています。太陽はちょうど１回です。 次の１日後はどうでしょう。星も太陽も同じだけ移動してい行きます。 さらに、１日後と続けていけば、星はだんだん右側にずれていきます。
これが１年経つとうなるでしょうか。地球はＡの位置まで戻っていますから、最初と同じ位置(太陽と同じ方向)に見えます。 ずれていったのが大きくなり、ちょうど１回まわったことになります。 星は、１年の間に３６５回と余分に回った１回分をあわせて３６６回まわることになります。
星が回る周期は１年の長さをそれよりも１だけ大きな数字で割った長さになります。 １年は３６５．２４２２日として計算すると
３６５.２４２２÷(３６５.２４２２＋１) ＝ ０.９９７２７ 日
＝ ２３.９３４４７ 時間 ＝ ２３時間５６.０６８分
となります。
星が１回まわる時間、すなわち地球の自転周期を１恒星日といい、太陽の１日を１太陽日といいます。
ところで、均時差があるというのは、１日の長さが日によって違うということを示しています。 地球の自転速度は慣性の法則に従いますから、変化しそうにありません。 長さが変わるとすると、余分にまわる分が関係してきそうです。探ってみます。
余分にまわる大きさが変化する理由は２つあります。１つは地球の公転軌道の形が楕円形ということよるものです。これを｢楕円軌道｣と呼ぶことにします。 ２つ目は、地球の自転軸が公転軸に対して傾いていることです。一般的には地軸が傾向いているといわれていますので｢地軸の傾き｣とします。 一つずつ詳しく見ていきます。
−−｢楕円軌道｣について−−
地球を含め惑星の運動はケプラーの法則に従います。
第一法則は楕円軌道の法則とも呼ばれ｢惑星の軌道の形は楕円形でその焦点の一つに太陽がある｣というものです。
軌道は円形ではないうえに太陽は中心にいないので、地球は太陽に近づいたり、遠ざかったりします。
太陽に一番近づく場所を近日点、遠ざかる場所を遠日点といいます。
地球が同じだけ動いたとしても、近日点近くにいるときは太陽は速く動くように見え、遠日点付近にいるときはゆっくり動くように見えます。
速く動いてみえればその分だけ余分にまわらないといけないので１日の長さが長くなります。
さらに第二法則があります。面積速度一定の法則とも呼ばれ、｢動径(惑星と太陽を結ぶ線)が一定時間内に通る場所の面積は一定である｣というものです。 面積は動径×速度×時間÷２で計算できます。時間が一定なら動径×速度が一定になります。 これは反比例の関係になりますから、太陽に近いと速く、遠いと遅くなるという関係が導き出せます。 近日点では地球の動きが速くその分太陽の動きも速く見えます。遠日点ではその逆で、太陽の動きもゆっくりになります。
どちらの効果も、近日点で速く、遠日点ではゆっくりになりますから、効果は倍増することになります。
この効果による１日の長さを考えてみます。地球が近日点にいるのは１月の始めで、この頃が１日の長さが最大になります。 ７月の始め頃に遠日点にいますから、１日の長さが短い頃になります。
均時差の大きさで考えてみます。均時差は、１日の長さが平均より長かった短かかったかということの積み重ねでできます。 影響がどのようになるかを考えてみます。 １日が長いとその分実際の太陽(以後視太陽とよびます)は遅れていきます。これに伴い視太陽時も遅れていきます。 １月初めと７月はじめのちょうど真ん中の４月始め頃を考えてみます。それまでは１日長さが平均より長かったものが短くなるように変化します。 以後は視太陽時の遅れが取り戻されていきますから、この頃に遅れが最大になります。 同様に１０月の始め頃に進みが最大となります。 その真ん中の１月始めと７月初めは均時差が０となります。 このようすは均時差グラフに青線で示しています。
−−｢地軸の傾き｣について−−
地軸が傾くことによって、公転面(黄道面)に対して地球の赤道面(天の赤道)が傾きます。そのようすを示したのが左側の図です。
黄道を暗黄色線、赤道を赤色線で示しています。見てわかるのは春分秋分の頃は黄道は赤道面に斜めに交わっているのに対して、
夏至・冬至の頃は平行になっています。このことが１太陽日、言いかえると余分にまわる長さにおよぼす影響を考えます。
夏至・秋分の日に太陽が南中しているようすを考えます。右側の図です。 それぞれの日から１恒星日後の視位置を暗黄色線で結んでいます。地球自転周期を求めた図でＢ点からの位置になります。 星や太陽は、図中を赤線と平行に左から右に動いていきます。その速度は天の赤道付近(赤線)付近で最も速くそこから離れるに従ってゆっくりになります。
まず秋分の日に注目します。南から垂直にのびるまっすぐな線(天の子午線)からの幅(黄橙線で入れています)は、 １恒星日に動く幅(暗黄色線の長さ)より短くなっています。この頃に１日の長さが最も短くなります。春分の日も同様です。
夏至の日です。天の子午線からのずれ幅は１恒星日に動く幅と全く同じです。ところで、夏至の太陽は天の赤道から離れています。 その分太陽の動き(日周運動による)はゆっくりになりますから、１日の長さは標準(１平均太陽日)より長くなります。 同様に冬至の頃も１日の長さは長くなっています。
楕円軌道の場合の１日の長さと均時差の大きさの関係(最速・最遅の時に０)を応用してみると、均時差の大きさは、 春分・夏至・秋分・冬至で０、間の立夏・立冬で最も進み、立春・立秋で最も遅れます。 このようすは均時差グラフに緑線で示しています。
＜均時差を求めてみた＞
-−−｢楕円軌道｣について−−
楕円軌道による均時差を計算するには、軌道上の地球の位置を知る必要があります。 とりあえず、楕円軌道上で近日点通から１日ごとに太陽からみてどの方向に地球があるかを表計算ソフトを使って計算してみます。 データについては天文年鑑２０２３年版記載のものを用います。また計算方法についても記載されていますからこれを参考に進めていきます。
考え方です。ここでケプラーの第二法則が必要になります。
動径の通ったところの面積は一定時間なら同じというのは、面積は時間に比例するということでもあります。
右図で、近日点(Ｑ)を出発した惑星(地球)がＴ日後にＰにいるとします。ケプラーの法則から、扇形ＱＳＰの面積(藤色部分)は時間に比例します。
この時の∠ＱＳＰが太陽からみたときに惑星が動いた角度になります。Ｓは太陽の位置です。
求めたいのはこの角度で、真近点角といいます。求めるのは少し複雑になります。
次に、楕円に外接円をかきます。Ｐから長軸(ＯＱ)方向と反対側に線を伸ばし外接円と交わったところをＥとします。 楕円では長軸から直角に引いた線が楕円と交わる点、外接円と交わる点までの距離の比は一定になります。 短軸の長さをｂとすると比の値はｂ／ａになりますから、扇形ＱＳＥの面積は扇形ＱＳＰのｂ／ａ倍になり時間に比例することがわかります。 ここで ｂ２＝ａ２(１−ｅ２) の関係があります。ｅは楕円の離心率で、以後ａは１として計算します。
扇形ＱＳＥの面積は惑星が１公転すると、外接円の面積と等しくなります。 別に考えなくてもいいのですが、外接円上を同じ公転周期でまわる天体を考えます。同じＴ日後にいる位置をＭとします。 この時に、扇形ＱＳＥ、扇形ＱＯＭは等しくなります。 ∠ＱＯＭは一定速度で大きくなっていきます。その速さは平均運動といい、記号はｎで表します。 また∠ＱＯＭの大きさを平均近点(離)角といいます。記号はＭです。さらに、Ｍ＝ｎＴの関係があります。
次に扇形ＱＳＥの面積を求める式を作ります。求める面積は扇形ＱＯＥ(色で塗った部分全部)の面積から△ＳＯＥの面積を引いたものになります。 ここで∠ＳＯＥをＥとします。この角度を離心近点(離)角といいます。
△ＳＯＥで底辺をＯＥとすれば高さはａｅ×sin(Ｅ)になります。よって次の式を作れます。
扇形ＱＳＥ＝扇形ＱＯＥ − △ＳＯＥ
ａ２Ｍ／２＝ａ２Ｅ／２−ａ２ｅ×sin(Ｅ)／２
Ｍ ＝ Ｅ − ｅ×sin(Ｅ)
この式はケプラー方程式といわれています。普通に解くことはできません。 Ｅを求めるには、いったん式を Ｅ＝Ｍ＋ｅ×sin(Ｅ) と変形します。 そのうえで、右辺のＥにＭを代入して計算し、求められた結果をさらに右辺のＥに代入してというのを繰り返し、 計算前と計算後のＥの変化量が所定量より少なくなった値をもって計算結果とします。
計算してみます。とりあえず、近日点通過１日後(Ｔ＝１)の地球の位置(真近点角)を求めることにします。 計算結果は有効数字の桁数に関係なく、表計算ソフトの計算結果をそのまま書きます。 ここで必要なデータは離心率(ｅ)でその値は０.０１６７０９です。軌道長半径(ａ)は１とします。
最初に平均運動を求めます、天文年鑑に計算式が書かれていますから、それにしたがって計算します。
０.９８５６０９１×ａ２／３ ＝ ０.９８５６０９１
この結果は、３６０を恒星年で割ったものになっています。近点年で割った方がよさそうですが、本に従うことにします。 単位は 度/日 です。
次に平均近点角(Ｍ)を求めます。 平均運動×日数になります。結果はそのままです。この後は三角関数が入ってきますから、単位をラジアンに変換する必要があります。 57.29577951で割ります。
0.9856091÷57.29577951＝0.017202124
Ｍ＋ｅ×sin(Ｍ)に代入します。
0.017202124＋0.016709×sin(0.017202124) ＝ 0.016914708
この結果をＭ＋ｅ×sin(Ｍ)のＭに代入して計算前の値と比較していきます。これを何回か繰り返します。
回 結果 差
１回目 0.017484738 0.00057003
２回目 0.017494262 9.52323E-06
３回目 0.017494421 1.59099E-07
４回目 0.017494423 2.65798E-09
５回目 0.017494423 4.44055E-11
６回目 0.017494423 7.41858E-13
７回目 0.017494423 1.23929E-14
３回目くらいでだいたい必要な精度が出ているようです。 表計算ソフトでは、ゴールシークを使えば結果をだしてくれるようですが、日毎に目標値を入れるのは面倒です。 多めに繰り返しておけは時間がかかる以外は特段問題はありません。７回(Ｍを代入したのを入れると８回)程度繰り返したものを結果とします。
真近点離角を求めます。天文年鑑には、太陽を原点とする直交座標上で地球の座標を求める式が書かれています。
これを応用します。次の式です(一部変形しています)。
ｘ＝ｒ×cos(ν)＝cos(Ｅ)−ｅ
ｙ＝ｒ×sin(ν)＝ｂ×sin(Ｅ)
ここで、ｒは動径、ｂは短半径です。
ｘはふつうに三角比から、ｙはＰのｙ座標がＥのもののｂ倍になるという関係から求められています。
ｒがわからないので式を作ります。ｘｙを求める式をそれぞれ２乗して加えてみます。
ｘ２＋ｙ２ ＝
ｒ２cos２(ν)＋ｒ２sin２(ν)＝ｒ２
＝[cos(Ｅ)-ｅ]２+ｂ2×sin2(E)
＝cos2(E)-2e cos(E)+ｅ2+(1-e2)sin2(E)
＝cos2(E)+sin2(E)-2e cos(E)+e2 - e2sin2(E)
＝1-2e cos(E)+e2cos2(E)
＝[１-ｅ cos(E)]２
２番目の式と最後の式から
ｒ＝１−ｅcos(Ｅ)
が求められます。ｘ座標を求める式を変形してえられる次の式を使って真近点角を求めることにします。
cos(ν)＝[cos(Ｅ)−ｅ]÷[１−ｅcos(Ｅ)]
計算結果は
0.017789206 rad , 1.019246408度
となります。
必要なデータそろいましたので、軌道形が楕円である事の影響(時差)を求めます。 均時差は視太陽時から平均太陽時を引いたものになります。 従って実際の太陽が示す時刻と、天の赤道上を一定速度で動く太陽が示す時刻との差を時差とします。 ところで、ここまででは太陽から地球の見える方角は計算ました。地球から太陽の見える方角は計算していません。 実際には、｢太陽から｣の方角と｢地球から｣の方角は正反対になりますから、一方から他方を求めるには１８０度を加えれ(または引け)ばよいことになります。 時差を求めるには２つの地球からの方角の差を求めます。太陽からの方角の差にどちらも１８０度を加えてから差を取ることになります。 １８０度の部分は、差をとったときに消されてしまいますから、単純に太陽からの方角の差を求めても同じ結果が得られます。 いちいち地球からの方角に変換せずにそのまま計算することにします。
平均近点離角は軌道上を一定速度で動いていますから、平均太陽(の正反対側)と見なせます。真近点角が視太陽(正反対側)として計算します。 太陽時は、南中した時を１２時(正午)として、そこからの経過時間を加えて求めます。 南中してからの経過時間を時角といいます。単位は時間を使います。ここでは計算の都合上度で考えることにします。１時間は１５度になります。 時角をつかうと次の式が作れます。
太陽時 ＝ 太陽の時角 ＋ １２時
星の経度は春分点が南中してから、その天体が南中するまでの時間で表します。そのために次の式が成り立ちます。
天体の南中時刻 ＝ 春分点の南中時刻 ＋ 天体の経度
天体を太陽に置き換えて式を整理すると
春分点の南中時刻 ＝ １２時 − 太陽の経度
となります。
春分点の南中時刻を、視太陽時で求めるときは太陽経度は真近点角です。平均太陽時で求めるときは平均近点角なので
(均)時差 ＝ 視太陽時 - 平均太陽時
＝ 12-視太陽の経度-(12-平均太陽の経度)
＝ 12−真近点角-(12−平均近点角)
＝ 平均近点角 − 真近点角
となります。近日点通過翌日では計算した数値を代入して
0.9856091−1.019246408＝-0.033637308度
＝-0.134549232分
が求められます。
楕円軌道のみを考える場合、近日点通過時は時差が０になります。 この時に視太陽と同じところに平均太陽がありますから、ここでの結果はそのまま時差として扱うことができます。
途中の計算に三角関数とその逆関数が使われています。象限の違いによって式が変わってきます。 表計算ソフトでは自動計算とかを考えないのなら、条件式を使うよりは、結果を見て式を使い分けた方が簡単です。計算は一部この方法でおこなっています。
−−均時差を求める−−
順番としては、地軸の傾きによって生じる時差を求めることになります。 問題があります。春分・夏至・秋分・冬至の間隔は等しくありません。その中間点でもそうです。 とりあえず太陽の実際の運行にあわせて、計算することにします。 方法としては太陽と同じ角度だけ進んだ平均太陽を考え。そこから時差をを求めることにします。 なお、楕円軌道の時差では単に経度で求めました。今回は地球の自転にともなう経度が問題になってきます。 時差は地球の自転に基づいた赤道座標系での経度(赤経)差で求めることになります。
この計算をするためにには、、地球は軌道上の定めた時刻にどこにいるかという情報が必要です。決まった場所にいる時刻でもかまいません。 天文年鑑のデータからは、その手がかりとなるものがありません。 普通に使われるのは、近日点通過の日時時刻か、元期と呼ばれる特定日時時刻の近日点からの位置関係が使われます。
それらしいデータが見当たらないので、毎月の空に書かれている近日点通過日を代入してみました。 ２０２３年版では１月５日１時１７分です。計算結果は二十四節気全ての日において１日ずれます。 原因は、記載されている近日点通過は地球が最も太陽に近づく日を示しているからだとわかりました。 地球は月といっしょに太陽を回っています。月と地球は共通重心を中心にして回転してます。 この回転で地球が太陽に近づいたり遠ざかったりする影響で、近日点通過が共通重心が通過する日とずれるようです。
１日ずらして計算してもいい、言い換えれば例えば春分点通過日にあわせて軌道位置を求めることもできます。 これだと、地球は求められても、他の惑星では求めることができません。この方法はは保留としておきます。
天文年鑑の軌道要素欄には平均黄経というのが書かれています。 詳しく書かれているところをみつけていないのですが、その年の１月１日０時(日本標準時で９時)を元期としたときの平均近点角、 ２０２０版以前は春分点からの平均離角のようです。これを使って１月２日(９時ＪＳＴ)を例に計算してみます。
１月１日の平均近点角が３５７.０６２(−２．９３８)度ですから、１月２日の平均近点離角は
-2.938+0.9856091×1=-1.9523909
後は真近点離角まで前回と同じように計算して、
-0.03523842(rad) -2.0190127361度
が求められます。これに近日点黄経を加えることで地球の黄経が求められます。近日点黄経は１０３.０１２６度です。
-2.0190127361+103.0126=100.9935873
地球の黄経が求められたところで、その位置が正しいのかの検証をしてみます。
天文年鑑には二十四節気の日時刻が記載されています。 １年間の地球黄経を求めて比較します。二十四節気は地球黄経(太陽黄経)が１５度の倍数になる日毎に順番に名前をついています。 その数値を超えない最後の日を、二十四節気とします。比べてみるとたいたい一致します。ただし、小寒のみが１日早くなっています。 小寒になるのが１月６日の０時３分とわずかの差で６日にまわっています。各節気でも時間単位でみるとずれがあるようです。 全体的にわずかな誤差が含まれているようです。原因は不明です。とりあえずこのまま進めます。
一般的には南中時刻を求めるには、赤道座標系(赤経・赤緯)に変換する必要がありまます。その前に。地球公転面からいったん黄道座標系に変換します。 といってもその差は０.００３０度とわずかなので、無視して進めます。地球黄経がそのまま黄経に、黄緯は０度となります。 地軸の傾きは黄道傾(斜)角(ε)といいその大きさは２３度２６分１０.３９９秒角です。 黄緯０の場合黄経(Ｌ)から赤道座標系(α，δ)への変換は、黄道傾角を使って
cos(α)･cos(δ)＝cos(Ｌ) ， sin(δ)＝sin(Ｌ)×sin(ε)
の関係があります。計算すると
sin(δ) = sin(100.9935873)･sin(23.43620528)
= 0.390428854
δ = 22.98118659 度
cos(α) = cos(100.9935873)/cos(22.98118659)
α = 101.9547496 度
が求められます。ふつう赤経の単位は時間ですが、説明の都合上、度にしています。
ここまで計算してしまうと、均時差がすぐに求められます。 これには楕円軌道での(均)時差を求めたときと同じ式が使えます。ただし、経度は全て赤経で統一しないといけません。 平均太陽の位置がはっきりしませんから、近日点(と同じ赤経の位置)を実際の地球と同時にスタートする仮平均地球を想定します。 近日点からの一定速度で進む仮想天体の位置は平均離角で求めています。この仮想天体が仮平均地球になります。 仮平均地球の赤経は、平均離角に近日点の位置(近日点黄経)加えたものになります。 仮平均地球赤経＝(-1.9523909)+103.0126
＝101.0602091
実際の太陽の赤経を引けば仮の均時差になります。
101.0602091-101.9547496=-0.894540512度
＝-3.578162048分
仮平均地球の初期位置を適当に決めています。計算結果を１年間で平均すると、平均地球とのずれだけが残ります。 平均値はは0.001063504分となりますからこれを引いた
-3.578162048-0.001063504=-3.579225552分
が均時差となります。
◎均時差が求まってしまったので、計算する必要がなくなりましたが、どの程度の影響があるのかという意味で地軸のずれによる時差も計算してます。 春分・夏至・秋分・冬至の間隔が等しくない事への対応法が問題となってきます。対応方法は２通りあります。 一つは、実際の太陽の動きに合わせて、何月何日はこれくらいと求める方法です。太陽の位置を求めるのはなかなかの難題です。 ところが、ここまでに計算済なので、それを利用できます。
これに対してもう一つの方法は、太陽の位置がここなら時差はこれくらいと求める方法です。 春分の日の均時差は、雨水ならというように考えていきます。最初からの計算はこちらの方があるかに簡単です。 前者の場合をケプラー運動している場合、後者の場合を等速運動をしている場合として求めてみます。
○ケプラー運動の場合
太陽の赤経からそのまま黄経を引くことで求められます。 計算結果を使うなら、地球の黄経を仮平均地球の赤経とし、時差を求める式に代入します。
100.9935873-101.9547496=-0.961162348度
=-3.844649392分
均時差を求めたときと同様、仮平均地球は初期値を適当に決めていますから、平均値が０になるように調整します。 １２月３１日まで求めて平均をとると-0.001404366分ですからこれを引いて
3.844649392-(-0.001404366)=3.846053758分
が求められます。
○等速運動の場合
春分点を視太陽と同時に通過する仮平均太陽を考えます。これに１８０度を加えたものが(太陽からみた)視地球、仮平均地球になります。 １日に動く大きさ(平均運動)は一定です。１太陽年で黄道を一周しますから、１日の平均運動は太陽年で割った値を使うことにします。
360度÷365.24219日=0.985647362度/日
春分の日は、１月１日から数えて７９日目です。１月２日は春分の７８日前になりますから、地球の黄経は
180-78×0.985647362=103.1195058
これが地球の黄経になりますし、仮平均地球の赤経になります。
地球の位置を赤経と赤緯に変換します。
赤経＝104.2529327度 、赤緯＝1.133426974度
が求められます。これから仮時差は、
103.1195058−104.2529327＝-1.133426974度
＝-4.533707895分
他の時差・均時差と同様平均値を求めてその値を引くことで
時差＝-4.536374241分
が求められます。
最後にグラフを書かせます。たくさんの列を途中の計算に使っています。必要な列だけを別のシートに貼りつけてそこからグラフを書かせる方が簡単でしょう。 なお、欽一展通過時からではなく、元期(１月１日０時))からの計算をしています。 またグラフは、楕円軌道時差では元期からの計算結果を用いています。地軸傾きによる時差についても日にち(ケプラー運動の場合)にあわせています。 最初に載せたグラフはこの方法で書かせたものです。
ここまでの計算をした内容をxls形式のファイルにしています。
ここからダウンロードできます。zip形式に圧縮しています。
読みこみファイル名wisp18-08.zip サイズ253,952 バイト
解凍ファイル名 wisp18-08.xls サイズ627,200 バイト
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兵庫県西脇市経緯度交差点(北緯３５度東経１３５度)前にある日時計
後方にあるは経緯度交差点(大正１０年測量)の標石などです
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日時計の示す時刻を視太陽時(真太陽時)、時計の示す時刻を平均太陽時といいます。 平均太陽時というのは、天の赤道上を東から西に１年かかって１周する平均太陽を想定し、この平均太陽から求められた時刻という意味になります。 これを使うと均時差は次のように定義されます。
均時差＝視太陽時−平均太陽時
書物(wikipediaも)等によっては逆順になっていることもあります。(by 国立天文台)
実際に２０２３年の均時差の大きさを計算してみました。結果をグラフにしたのが次の図です。 赤線で示しています。青線・緑線の意味は後々説明します。縦軸の単位は分になります。
＜均時差ができるわけ＞
どうして均時差がでるのかを考える前に１日の長さについて考えることにします。
よく勘違いされていることがあります。１日の長さが２４時間だから、地球の自転周期も２４時間だという勘違いです。 実際には２３時間５６分４秒です。わずかに短くなっています。この違いが生じる理由を考えてみます。
右図で、地球(青丸)がＡにいる時に太陽の方向を向いている地点を黒丸で示しています。
ここから、地球が左回りに１回自転した時を考えます。先ほどの地点(黒丸)は地球から見て同じ方向にあります(右なら右)。
地球は１回自転する間に公転によって左回りに少しだけ移動しています。この位置がＢになります。
Ｂでは地球が移動した分太陽が後ろ側に見えます。太陽の方に向くにはもう少しだけ自転する必要があります。
太陽の１日の長さは、余分に自転する分だけ長くなります。１日の長さと自転周期の関係を計算してみます。１日(２４時間)後に地球はＣまで移動しています。 Ａにいる時に右側にあった星は，この間に１回とちょっとだけ余分に回転しています。太陽はちょうど１回です。 次の１日後はどうでしょう。星も太陽も同じだけ移動してい行きます。 さらに、１日後と続けていけば、星はだんだん右側にずれていきます。
これが１年経つとうなるでしょうか。地球はＡの位置まで戻っていますから、最初と同じ位置(太陽と同じ方向)に見えます。 ずれていったのが大きくなり、ちょうど１回まわったことになります。 星は、１年の間に３６５回と余分に回った１回分をあわせて３６６回まわることになります。
星が回る周期は１年の長さをそれよりも１だけ大きな数字で割った長さになります。 １年は３６５．２４２２日として計算すると
３６５.２４２２÷(３６５.２４２２＋１) ＝ ０.９９７２７ 日
＝ ２３.９３４４７ 時間 ＝ ２３時間５６.０６８分
となります。
星が１回まわる時間、すなわち地球の自転周期を１恒星日といい、太陽の１日を１太陽日といいます。
−−−−−−−−−−
ところで、均時差があるというのは、１日の長さが日によって違うということを示しています。 地球の自転速度は慣性の法則に従いますから、変化しそうにありません。 長さが変わるとすると、余分にまわる分が関係してきそうです。探ってみます。
余分にまわる大きさが変化する理由は２つあります。１つは地球の公転軌道の形が楕円形ということよるものです。これを｢楕円軌道｣と呼ぶことにします。 ２つ目は、地球の自転軸が公転軸に対して傾いていることです。一般的には地軸が傾向いているといわれていますので｢地軸の傾き｣とします。 一つずつ詳しく見ていきます。
−−｢楕円軌道｣について−−
地球を含め惑星の運動はケプラーの法則に従います。
第一法則は楕円軌道の法則とも呼ばれ｢惑星の軌道の形は楕円形でその焦点の一つに太陽がある｣というものです。
軌道は円形ではないうえに太陽は中心にいないので、地球は太陽に近づいたり、遠ざかったりします。
太陽に一番近づく場所を近日点、遠ざかる場所を遠日点といいます。
地球が同じだけ動いたとしても、近日点近くにいるときは太陽は速く動くように見え、遠日点付近にいるときはゆっくり動くように見えます。
速く動いてみえればその分だけ余分にまわらないといけないので１日の長さが長くなります。さらに第二法則があります。面積速度一定の法則とも呼ばれ、｢動径(惑星と太陽を結ぶ線)が一定時間内に通る場所の面積は一定である｣というものです。 面積は動径×速度×時間÷２で計算できます。時間が一定なら動径×速度が一定になります。 これは反比例の関係になりますから、太陽に近いと速く、遠いと遅くなるという関係が導き出せます。 近日点では地球の動きが速くその分太陽の動きも速く見えます。遠日点ではその逆で、太陽の動きもゆっくりになります。
どちらの効果も、近日点で速く、遠日点ではゆっくりになりますから、効果は倍増することになります。
この効果による１日の長さを考えてみます。地球が近日点にいるのは１月の始めで、この頃が１日の長さが最大になります。 ７月の始め頃に遠日点にいますから、１日の長さが短い頃になります。
均時差の大きさで考えてみます。均時差は、１日の長さが平均より長かった短かかったかということの積み重ねでできます。 影響がどのようになるかを考えてみます。 １日が長いとその分実際の太陽(以後視太陽とよびます)は遅れていきます。これに伴い視太陽時も遅れていきます。 １月初めと７月はじめのちょうど真ん中の４月始め頃を考えてみます。それまでは１日長さが平均より長かったものが短くなるように変化します。 以後は視太陽時の遅れが取り戻されていきますから、この頃に遅れが最大になります。 同様に１０月の始め頃に進みが最大となります。 その真ん中の１月始めと７月初めは均時差が０となります。 このようすは均時差グラフに青線で示しています。
−−｢地軸の傾き｣について−−
地軸が傾くことによって、公転面(黄道面)に対して地球の赤道面(天の赤道)が傾きます。そのようすを示したのが左側の図です。
黄道を暗黄色線、赤道を赤色線で示しています。見てわかるのは春分秋分の頃は黄道は赤道面に斜めに交わっているのに対して、
夏至・冬至の頃は平行になっています。このことが１太陽日、言いかえると余分にまわる長さにおよぼす影響を考えます。夏至・秋分の日に太陽が南中しているようすを考えます。右側の図です。 それぞれの日から１恒星日後の視位置を暗黄色線で結んでいます。地球自転周期を求めた図でＢ点からの位置になります。 星や太陽は、図中を赤線と平行に左から右に動いていきます。その速度は天の赤道付近(赤線)付近で最も速くそこから離れるに従ってゆっくりになります。
まず秋分の日に注目します。南から垂直にのびるまっすぐな線(天の子午線)からの幅(黄橙線で入れています)は、 １恒星日に動く幅(暗黄色線の長さ)より短くなっています。この頃に１日の長さが最も短くなります。春分の日も同様です。
夏至の日です。天の子午線からのずれ幅は１恒星日に動く幅と全く同じです。ところで、夏至の太陽は天の赤道から離れています。 その分太陽の動き(日周運動による)はゆっくりになりますから、１日の長さは標準(１平均太陽日)より長くなります。 同様に冬至の頃も１日の長さは長くなっています。
楕円軌道の場合の１日の長さと均時差の大きさの関係(最速・最遅の時に０)を応用してみると、均時差の大きさは、 春分・夏至・秋分・冬至で０、間の立夏・立冬で最も進み、立春・立秋で最も遅れます。 このようすは均時差グラフに緑線で示しています。
＜均時差を求めてみた＞
-−−｢楕円軌道｣について−−
楕円軌道による均時差を計算するには、軌道上の地球の位置を知る必要があります。 とりあえず、楕円軌道上で近日点通から１日ごとに太陽からみてどの方向に地球があるかを表計算ソフトを使って計算してみます。 データについては天文年鑑２０２３年版記載のものを用います。また計算方法についても記載されていますからこれを参考に進めていきます。
考え方です。ここでケプラーの第二法則が必要になります。
動径の通ったところの面積は一定時間なら同じというのは、面積は時間に比例するということでもあります。
右図で、近日点(Ｑ)を出発した惑星(地球)がＴ日後にＰにいるとします。ケプラーの法則から、扇形ＱＳＰの面積(藤色部分)は時間に比例します。
この時の∠ＱＳＰが太陽からみたときに惑星が動いた角度になります。Ｓは太陽の位置です。
求めたいのはこの角度で、真近点角といいます。求めるのは少し複雑になります。次に、楕円に外接円をかきます。Ｐから長軸(ＯＱ)方向と反対側に線を伸ばし外接円と交わったところをＥとします。 楕円では長軸から直角に引いた線が楕円と交わる点、外接円と交わる点までの距離の比は一定になります。 短軸の長さをｂとすると比の値はｂ／ａになりますから、扇形ＱＳＥの面積は扇形ＱＳＰのｂ／ａ倍になり時間に比例することがわかります。 ここで ｂ２＝ａ２(１−ｅ２) の関係があります。ｅは楕円の離心率で、以後ａは１として計算します。
扇形ＱＳＥの面積は惑星が１公転すると、外接円の面積と等しくなります。 別に考えなくてもいいのですが、外接円上を同じ公転周期でまわる天体を考えます。同じＴ日後にいる位置をＭとします。 この時に、扇形ＱＳＥ、扇形ＱＯＭは等しくなります。 ∠ＱＯＭは一定速度で大きくなっていきます。その速さは平均運動といい、記号はｎで表します。 また∠ＱＯＭの大きさを平均近点(離)角といいます。記号はＭです。さらに、Ｍ＝ｎＴの関係があります。
次に扇形ＱＳＥの面積を求める式を作ります。求める面積は扇形ＱＯＥ(色で塗った部分全部)の面積から△ＳＯＥの面積を引いたものになります。 ここで∠ＳＯＥをＥとします。この角度を離心近点(離)角といいます。
△ＳＯＥで底辺をＯＥとすれば高さはａｅ×sin(Ｅ)になります。よって次の式を作れます。
扇形ＱＳＥ＝扇形ＱＯＥ − △ＳＯＥ
ａ２Ｍ／２＝ａ２Ｅ／２−ａ２ｅ×sin(Ｅ)／２
Ｍ ＝ Ｅ − ｅ×sin(Ｅ)
この式はケプラー方程式といわれています。普通に解くことはできません。 Ｅを求めるには、いったん式を Ｅ＝Ｍ＋ｅ×sin(Ｅ) と変形します。 そのうえで、右辺のＥにＭを代入して計算し、求められた結果をさらに右辺のＥに代入してというのを繰り返し、 計算前と計算後のＥの変化量が所定量より少なくなった値をもって計算結果とします。
計算してみます。とりあえず、近日点通過１日後(Ｔ＝１)の地球の位置(真近点角)を求めることにします。 計算結果は有効数字の桁数に関係なく、表計算ソフトの計算結果をそのまま書きます。 ここで必要なデータは離心率(ｅ)でその値は０.０１６７０９です。軌道長半径(ａ)は１とします。
最初に平均運動を求めます、天文年鑑に計算式が書かれていますから、それにしたがって計算します。
０.９８５６０９１×ａ２／３ ＝ ０.９８５６０９１
この結果は、３６０を恒星年で割ったものになっています。近点年で割った方がよさそうですが、本に従うことにします。 単位は 度/日 です。
次に平均近点角(Ｍ)を求めます。 平均運動×日数になります。結果はそのままです。この後は三角関数が入ってきますから、単位をラジアンに変換する必要があります。 57.29577951で割ります。
0.9856091÷57.29577951＝0.017202124
Ｍ＋ｅ×sin(Ｍ)に代入します。
0.017202124＋0.016709×sin(0.017202124) ＝ 0.016914708
この結果をＭ＋ｅ×sin(Ｍ)のＭに代入して計算前の値と比較していきます。これを何回か繰り返します。
回 結果 差
１回目 0.017484738 0.00057003
２回目 0.017494262 9.52323E-06
３回目 0.017494421 1.59099E-07
４回目 0.017494423 2.65798E-09
５回目 0.017494423 4.44055E-11
６回目 0.017494423 7.41858E-13
７回目 0.017494423 1.23929E-14
３回目くらいでだいたい必要な精度が出ているようです。 表計算ソフトでは、ゴールシークを使えば結果をだしてくれるようですが、日毎に目標値を入れるのは面倒です。 多めに繰り返しておけは時間がかかる以外は特段問題はありません。７回(Ｍを代入したのを入れると８回)程度繰り返したものを結果とします。
真近点離角を求めます。天文年鑑には、太陽を原点とする直交座標上で地球の座標を求める式が書かれています。
これを応用します。次の式です(一部変形しています)。ｘ＝ｒ×cos(ν)＝cos(Ｅ)−ｅ
ｙ＝ｒ×sin(ν)＝ｂ×sin(Ｅ)
ここで、ｒは動径、ｂは短半径です。
ｘはふつうに三角比から、ｙはＰのｙ座標がＥのもののｂ倍になるという関係から求められています。
ｒがわからないので式を作ります。ｘｙを求める式をそれぞれ２乗して加えてみます。
ｘ２＋ｙ２ ＝
ｒ２cos２(ν)＋ｒ２sin２(ν)＝ｒ２
＝[cos(Ｅ)-ｅ]２+ｂ2×sin2(E)
＝cos2(E)-2e cos(E)+ｅ2+(1-e2)sin2(E)
＝cos2(E)+sin2(E)-2e cos(E)+e2
＝1-2e cos(E)+e2cos2(E)
＝[１-ｅ cos(E)]２
２番目の式と最後の式から
ｒ＝１−ｅcos(Ｅ)
が求められます。ｘ座標を求める式を変形してえられる次の式を使って真近点角を求めることにします。
cos(ν)＝[cos(Ｅ)−ｅ]÷[１−ｅcos(Ｅ)]
| ※ | tan(ν/2)=[(1+e)/(1-e)]1/2tan(E/2) の関係があります。計算時にわかっていなかったので使っていません。 式の導き出し方をみるには右をクリック。 →式をみる／閉じる |
計算結果は
0.017789206 rad , 1.019246408度
となります。
必要なデータそろいましたので、軌道形が楕円である事の影響(時差)を求めます。 均時差は視太陽時から平均太陽時を引いたものになります。 従って実際の太陽が示す時刻と、天の赤道上を一定速度で動く太陽が示す時刻との差を時差とします。 ところで、ここまででは太陽から地球の見える方角は計算ました。地球から太陽の見える方角は計算していません。 実際には、｢太陽から｣の方角と｢地球から｣の方角は正反対になりますから、一方から他方を求めるには１８０度を加えれ(または引け)ばよいことになります。 時差を求めるには２つの地球からの方角の差を求めます。太陽からの方角の差にどちらも１８０度を加えてから差を取ることになります。 １８０度の部分は、差をとったときに消されてしまいますから、単純に太陽からの方角の差を求めても同じ結果が得られます。 いちいち地球からの方角に変換せずにそのまま計算することにします。
平均近点離角は軌道上を一定速度で動いていますから、平均太陽(の正反対側)と見なせます。真近点角が視太陽(正反対側)として計算します。 太陽時は、南中した時を１２時(正午)として、そこからの経過時間を加えて求めます。 南中してからの経過時間を時角といいます。単位は時間を使います。ここでは計算の都合上度で考えることにします。１時間は１５度になります。 時角をつかうと次の式が作れます。
太陽時 ＝ 太陽の時角 ＋ １２時
星の経度は春分点が南中してから、その天体が南中するまでの時間で表します。そのために次の式が成り立ちます。
天体の南中時刻 ＝ 春分点の南中時刻 ＋ 天体の経度
天体を太陽に置き換えて式を整理すると
春分点の南中時刻 ＝ １２時 − 太陽の経度
となります。
春分点の南中時刻を、視太陽時で求めるときは太陽経度は真近点角です。平均太陽時で求めるときは平均近点角なので
(均)時差 ＝ 視太陽時 - 平均太陽時
＝ 12-視太陽の経度-(12-平均太陽の経度)
＝ 12−真近点角-(12−平均近点角)
＝ 平均近点角 − 真近点角
となります。近日点通過翌日では計算した数値を代入して
0.9856091−1.019246408＝-0.033637308度
＝-0.134549232分
が求められます。
楕円軌道のみを考える場合、近日点通過時は時差が０になります。 この時に視太陽と同じところに平均太陽がありますから、ここでの結果はそのまま時差として扱うことができます。
途中の計算に三角関数とその逆関数が使われています。象限の違いによって式が変わってきます。 表計算ソフトでは自動計算とかを考えないのなら、条件式を使うよりは、結果を見て式を使い分けた方が簡単です。計算は一部この方法でおこなっています。
−−均時差を求める−−
順番としては、地軸の傾きによって生じる時差を求めることになります。 問題があります。春分・夏至・秋分・冬至の間隔は等しくありません。その中間点でもそうです。 とりあえず太陽の実際の運行にあわせて、計算することにします。 方法としては太陽と同じ角度だけ進んだ平均太陽を考え。そこから時差をを求めることにします。 なお、楕円軌道の時差では単に経度で求めました。今回は地球の自転にともなう経度が問題になってきます。 時差は地球の自転に基づいた赤道座標系での経度(赤経)差で求めることになります。
この計算をするためにには、、地球は軌道上の定めた時刻にどこにいるかという情報が必要です。決まった場所にいる時刻でもかまいません。 天文年鑑のデータからは、その手がかりとなるものがありません。 普通に使われるのは、近日点通過の日時時刻か、元期と呼ばれる特定日時時刻の近日点からの位置関係が使われます。
それらしいデータが見当たらないので、毎月の空に書かれている近日点通過日を代入してみました。 ２０２３年版では１月５日１時１７分です。計算結果は二十四節気全ての日において１日ずれます。 原因は、記載されている近日点通過は地球が最も太陽に近づく日を示しているからだとわかりました。 地球は月といっしょに太陽を回っています。月と地球は共通重心を中心にして回転してます。 この回転で地球が太陽に近づいたり遠ざかったりする影響で、近日点通過が共通重心が通過する日とずれるようです。
１日ずらして計算してもいい、言い換えれば例えば春分点通過日にあわせて軌道位置を求めることもできます。 これだと、地球は求められても、他の惑星では求めることができません。この方法はは保留としておきます。
天文年鑑の軌道要素欄には平均黄経というのが書かれています。 詳しく書かれているところをみつけていないのですが、その年の１月１日０時(日本標準時で９時)を元期としたときの平均近点角、 ２０２０版以前は春分点からの平均離角のようです。これを使って１月２日(９時ＪＳＴ)を例に計算してみます。
１月１日の平均近点角が３５７.０６２(−２．９３８)度ですから、１月２日の平均近点離角は
-2.938+0.9856091×1=-1.9523909
後は真近点離角まで前回と同じように計算して、
-0.03523842(rad) -2.0190127361度
が求められます。これに近日点黄経を加えることで地球の黄経が求められます。近日点黄経は１０３.０１２６度です。
-2.0190127361+103.0126=100.9935873
地球の黄経が求められたところで、その位置が正しいのかの検証をしてみます。
天文年鑑には二十四節気の日時刻が記載されています。 １年間の地球黄経を求めて比較します。二十四節気は地球黄経(太陽黄経)が１５度の倍数になる日毎に順番に名前をついています。 その数値を超えない最後の日を、二十四節気とします。比べてみるとたいたい一致します。ただし、小寒のみが１日早くなっています。 小寒になるのが１月６日の０時３分とわずかの差で６日にまわっています。各節気でも時間単位でみるとずれがあるようです。 全体的にわずかな誤差が含まれているようです。原因は不明です。とりあえずこのまま進めます。
一般的には南中時刻を求めるには、赤道座標系(赤経・赤緯)に変換する必要がありまます。その前に。地球公転面からいったん黄道座標系に変換します。 といってもその差は０.００３０度とわずかなので、無視して進めます。地球黄経がそのまま黄経に、黄緯は０度となります。 地軸の傾きは黄道傾(斜)角(ε)といいその大きさは２３度２６分１０.３９９秒角です。 黄緯０の場合黄経(Ｌ)から赤道座標系(α，δ)への変換は、黄道傾角を使って
cos(α)･cos(δ)＝cos(Ｌ) ， sin(δ)＝sin(Ｌ)×sin(ε)
の関係があります。計算すると
sin(δ) = sin(100.9935873)･sin(23.43620528)
= 0.390428854
δ = 22.98118659 度
cos(α) = cos(100.9935873)/cos(22.98118659)
α = 101.9547496 度
が求められます。ふつう赤経の単位は時間ですが、説明の都合上、度にしています。
ここまで計算してしまうと、均時差がすぐに求められます。 これには楕円軌道での(均)時差を求めたときと同じ式が使えます。ただし、経度は全て赤経で統一しないといけません。 平均太陽の位置がはっきりしませんから、近日点(と同じ赤経の位置)を実際の地球と同時にスタートする仮平均地球を想定します。 近日点からの一定速度で進む仮想天体の位置は平均離角で求めています。この仮想天体が仮平均地球になります。 仮平均地球の赤経は、平均離角に近日点の位置(近日点黄経)加えたものになります。 仮平均地球赤経＝(-1.9523909)+103.0126
＝101.0602091
実際の太陽の赤経を引けば仮の均時差になります。
101.0602091-101.9547496=-0.894540512度
＝-3.578162048分
仮平均地球の初期位置を適当に決めています。計算結果を１年間で平均すると、平均地球とのずれだけが残ります。 平均値はは0.001063504分となりますからこれを引いた
-3.578162048-0.001063504=-3.579225552分
が均時差となります。
◎均時差が求まってしまったので、計算する必要がなくなりましたが、どの程度の影響があるのかという意味で地軸のずれによる時差も計算してます。 春分・夏至・秋分・冬至の間隔が等しくない事への対応法が問題となってきます。対応方法は２通りあります。 一つは、実際の太陽の動きに合わせて、何月何日はこれくらいと求める方法です。太陽の位置を求めるのはなかなかの難題です。 ところが、ここまでに計算済なので、それを利用できます。
これに対してもう一つの方法は、太陽の位置がここなら時差はこれくらいと求める方法です。 春分の日の均時差は、雨水ならというように考えていきます。最初からの計算はこちらの方があるかに簡単です。 前者の場合をケプラー運動している場合、後者の場合を等速運動をしている場合として求めてみます。
○ケプラー運動の場合
太陽の赤経からそのまま黄経を引くことで求められます。 計算結果を使うなら、地球の黄経を仮平均地球の赤経とし、時差を求める式に代入します。
100.9935873-101.9547496=-0.961162348度
=-3.844649392分
均時差を求めたときと同様、仮平均地球は初期値を適当に決めていますから、平均値が０になるように調整します。 １２月３１日まで求めて平均をとると-0.001404366分ですからこれを引いて
3.844649392-(-0.001404366)=3.846053758分
が求められます。
○等速運動の場合
春分点を視太陽と同時に通過する仮平均太陽を考えます。これに１８０度を加えたものが(太陽からみた)視地球、仮平均地球になります。 １日に動く大きさ(平均運動)は一定です。１太陽年で黄道を一周しますから、１日の平均運動は太陽年で割った値を使うことにします。
360度÷365.24219日=0.985647362度/日
春分の日は、１月１日から数えて７９日目です。１月２日は春分の７８日前になりますから、地球の黄経は
180-78×0.985647362=103.1195058
これが地球の黄経になりますし、仮平均地球の赤経になります。
地球の位置を赤経と赤緯に変換します。
赤経＝104.2529327度 、赤緯＝1.133426974度
が求められます。これから仮時差は、
103.1195058−104.2529327＝-1.133426974度
＝-4.533707895分
他の時差・均時差と同様平均値を求めてその値を引くことで
時差＝-4.536374241分
が求められます。
最後にグラフを書かせます。たくさんの列を途中の計算に使っています。必要な列だけを別のシートに貼りつけてそこからグラフを書かせる方が簡単でしょう。 なお、欽一展通過時からではなく、元期(１月１日０時))からの計算をしています。 またグラフは、楕円軌道時差では元期からの計算結果を用いています。地軸傾きによる時差についても日にち(ケプラー運動の場合)にあわせています。 最初に載せたグラフはこの方法で書かせたものです。
ここまでの計算をした内容をxls形式のファイルにしています。
ここからダウンロードできます。zip形式に圧縮しています。
読みこみファイル名wisp18-08.zip サイズ253,952 バイト
解凍ファイル名 wisp18-08.xls サイズ627,200 バイト
2023.09.03 作 成
＜ヨッシンと地学の散歩＞
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