ヨッシンと地学の散歩 > 散歩道のささやき > 人工衛星の見え方

ヨッシンと 地学の散歩

散歩道のささやき
人工衛星の見え方


 人工衛星にまつわる様々な計算をしてみました。「高度と見える時間」「高度と明るさ」「全く見えなくなるまでの時間」「静止衛星の位置」です。

1.人工衛星の高度と見える時間
 日没後や夜明け前に人工衛星を見ることがあります。ゆっくりと動いているように見えます。一体どれくらいの時間見えているのでしょうか。 人工衛星の飛ぶ高さや向きよって変わってきますが、概算で計算してみることにします。
 人工衛星は、地球の自転の勢いを利用しさらに加速をつけて飛び立ち地球の周りを回っています。そのため、西から東に進むのが一般的です。 実際には、多少南北方向にずれた方向に動くものもあります。赤道上で西から東に進むものと、南北方向に動くものの両方を考えてみることにします。
 計算を簡単にするために、地球を赤道半径の6378kmの球形とします。人工衛星の軌道も円形とします。
 人工衛星の高度を h 、地球の半径を R とおくと、人工衛星の軌道半径は R+h です。
 人工衛星が水平線上に見えるとき、その位置と観測点を地球中心から見たときに離れて見える角度をθとすると、次の関係式ができます。
 
  (R+h)cosθ = R  θ = arccos(R÷(R+h))
 
 次に人工衛星の公転周期を求めます。公転周期は T (時間)とします。
 求め方は、ケプラーの第3法則を利用します。軌道半径と公転周期のわかっているものが必要です。 静止衛星は赤道上空35786kmにあります(WikiPediaによる)。公転周期は23.93時間ですから、
 
  T÷( R+h ) = 23.93 ÷ ( 35786 + 6378 )
 
  T = ✓ 23.93 ÷ ( 42164 )×( R+h )
 
となります。
 人工衛星が南北方向に移動する場合は、この周期でまわっているようにみえます。  2θだけ回転する時間を求めると、南北方向に動く人工衛星に見える最大時間が求められます。つぎの式になります。
 
  T × 2θ ÷ 2π → T × θ ÷ π
 
 人工衛星が東に進む場合、地球の自転速度分だけ少なくなります。見かけの公転周期をSとおくと次の関係式ができます。 この式は惑星の会合周期の関係式と同じです。
 
  1/S = 1/T − 1/23.93
 
  S=1/((1/T) − (1/23.93))
 
これから、赤道上で真西から昇り天頂を通って真東に沈む人工衛星の見える時間は、
 
  S × 2θ ÷ 2π → S × θ ÷ π
 
で求められます。
 実際には天頂を通ることは少なく、一瞬だけ顔を出すものから様々です。動く速さの検討をつけるだけだと、これでわかると思います。
 計算は、表計算ソフトでやらせるのがいいでしょう。いろいろな高さのものを求めることができます。 これからグラフが作れます。次のようになりました。横軸が高度、縦軸が時間(分)です。 1つ目が高さ1000kmまで、2つ目が38000kmまでのものです。2つ目のグラフの右側赤縦線は、 この高さで静止軌道のため時間は見える時間は無限大で、これより上空の人工衛星は逆回転になるためにこういう引かれかたになります。
人工衛星 高度と見える時間 人工衛星 高度と見える時間


2.人工衛星の高度と明るさ
 人工衛星の明るさが高さによってどのように変わるか考えてみます。実際には、人工衛星の大きさや形、反射率などによって変わってきます。 基準になるものを考える必要があります。妥当かどうかわかりませんが、とりあえず頭上100kmの高さにある人工衛星の等級が1等だとします。 違っていても、たとえば2等の場合その数値の差を加えれば求めることができます。
 明るさは、距離の2乗に反比例します。明るさから等級に変換する式があります。 組み合わせることで、距離 X にある人工衛星の等級 M を求めることができます。次の式です。
 
  M = 1 + 5×log10(X÷100)
 
 頭上(天頂)にあるときは、人工衛星の高度(h)をそのままXに入力すれば求めることができます。水平線近くにいるときは距離は遠くなっています。 水平線上にいる人工衛星までの距離(d)と、先ほど使ったR、θとの間の関係式は次のようになります。この値を代入することで明るさが求められます。
 
  d = R tan(θ)
 
これも、表計算ソフトでいろいろな高さでどうなるかを計算させ、グラフにしてみました。縦軸が等級、横軸が高度です。 これも、1つ目が高さ1000kmまで、2つ目が38000kmまでのものです。 国際宇宙ステーションは、約400kmの高さで−1等ぐらいですから、5等分ほど上にずれていることになります。 これほど大きな人工衛星は他にありません。大きさが10分の1の場合、このグラフから1等ほど暗くするとだいたいの値を指しているのではないでしょうか。
人工衛星 高度と明るさ 人工衛星 高度と明るさ


3.人工衛星が全く見えなくなるまでの時間
 人工衛星が動いている間に消えることがあります。地球の影に入ったからです。人工衛星の軌道球面に落ちる地球の影が見えたとします。 日没直後から、影は東の空から昇ってきます。だんだん大きくなってきます。人工衛星の高度が低いと空全体を覆う大きさがあります。 これが、空全体を覆ってしまえば、人工衛星は見えなくなります。そのようになるまでの時間を考えてみることにします。 緯度が大きくなると、計算式が複雑になります。とりあえず赤道上で真西から真東に進む人工衛星の場合を考えてみることにします。
 まず、影に入る場所をとりあえず消滅点と呼ぶことにします。日没の瞬間に東の空に人工衛星Aがあるとします。 この人工衛星は、消滅点上にもあります。この場所がどうなるかを考えたいので、人工衛星Aには動かないでもらいます。 この時、地球中心から人工衛星と観測者はθ離れた方向に見えます。ずっと時間がたっていきます。人工衛星は空に昇ってきます。 もし、この人工衛星Aより東側に人工衛星Bがあってもそこには太陽の光が当たっていませんからBを見ることはできません。 人工衛星Aが西の水平線上に来たときは、人工衛星の見える軌道は全て地球の影に入っています。 こうなると、軌道上の人工衛星を見ることはできなくなります。
 東の地平線にいるときも、地球の中心から見た角度はθですから、地球が2θ回転すると、空に人工衛星が見えなくなる時間がやってくることになります。 同じように、いろいろな高度での人工衛星が全く見えなくなるまでの時間を表計算ソフトで計算しグラフにしてみることにします。
 下がその結果です。1000kmまでと38000kmまで(青線)の2つの図を作りました。横軸が高度、縦軸が時間です。
人工衛星 見えなくなるまでの時間 人工衛星 見えなくなるまでの時間
 計算をしてみると、約2700km以上の高さの人工衛星では、6時間以上かかるのかわかります。これは、消滅点が西の空に沈んだときには、 反対側の消滅点が東の空から昇ってきていることになります。この高さに人工衛星が無数にあると、どれかは必ず見えていることになります。 地球の影が見えたらで話をすると、空に丸い影が見えているはずです。
 この影の中を、人工衛星が通過するのにかかる時間を計算させてみます。地球中心から見たとき、影の半径(角度)は次の式で求められます。
 
  arcsin( R ÷( R + h ))
 
人工衛星の動いて見える速さとこの角度から、通過に要する時間が計算できます。表計算ソフトで計算させ先ほどの図に赤線で入れています。

オリオン星雲と静止衛星 4.静止衛星の仰角
 静止衛星が、どの位置に見えるのか計算してみます。観測者と同じ経線上に静止しているものとします。
 静止衛星の仰角を E 、観測者の緯度を Φ とします。次の関係式が作れます。
 
  R × sin( Φ ) × tan( E + Φ ) = R + h

 静止衛星の位置は、赤緯を使って表すこともできます。赤緯を δ として次の式でもとめられます。
 
  δ = E + φ − 90
 
 緯度ごとにどのようになるかを表計算ソフトで計算させ、グラフにしてみました。横軸が緯度、縦軸が角度です。 赤線が仰角、青線が赤緯になります。北緯35度では、仰角は50度、赤緯は−5度になります。
 緯度82度以上では、仰角がマイナスになっています。静止衛星は水平線下で見えないことを示しています。 さらに、静止衛星からの電波も受け取ることはできないので、衛星放送も受信できないでしょう。
静止衛星 見える角度



<ヨッシンと地学の散歩>  <散歩道のささやき 目次> 
<<一つ前   次へ >>